逐步组建复杂系统的有效测试方法：自底向上（执行）
3.1 自底向上-模块化集成自底向上（执行）就是一种逐步组建复杂系统的有效测试方法。首先将需要解决的问题分为各个三元进行测试，接着按照自顶向下相反的路径进行操作，然后对各个单元进行逐步组装，直至系统各部分以组装的思路都经过测试和验证。
理解自底向上的执行思维：模块化集成
自底向上分析思想：
任何时候栈中符号串和剩余符号串组成一个句型，当句柄出现在栈顶符号串中时，就用该句柄进行归约，这样一直归约到输入串只剩结束符、栈中符号只剩下开始符号，此时认为输入符号串是文法的句子，否则报错。
自底向上是⼀种求解动态规划问题的方法，它不使用递归式，而是直接使用循环来计算所有可能的结果，往上层逐渐累加子问题的解。在求解子问题的最优解的同时，也相当于是在求解整个问题的最优解。其中最难的部分是找到求解最终问题的递归关系式，或者说状态转移方程。
3.2 举例：0-1背包问题
3.2.1 问题描述
你现在想买⼀大堆算法书，有一个容量为 V 的背包，这个商店⼀共有 n 个商品。问题在于，你最多只能拿 W kg 的东西，其中 wi 和 vi 分别表示第 i 个商品的重量和价值。最终的目标就是在能拿的下的情况下，获得最大价值，求解哪些物品可以放进背包。
对于每⼀个商品你有两个选择：拿或者不拿。
3.2.2 自底向上分析
⾸先要做的就是要找到“子问题”是什么。通过分析发现：每次背包新装进⼀个物品就可以把剩余的承重能力作为⼀个新的背包来求解，⼀直递推到承重为0的背包问题。
用 m[i,w] 表示偷到商品的总价值，其中 i 表示⼀共多少个商品，w 表示总重量，所以求解 m[i,w]就是子问题，那么看到某⼀个商品i的时候，如何决定是不是要装进背包，需要考虑以下：
该物品的重量大于背包的总重量，不考虑，换下⼀个商品；
该商品的重量小于背包的总重量，那么尝试把它装进去，如果装不下就把其他东西换出来，看看装进去后的总价值是不是更高了，否则还是按照之前的装法；
极端情况，所有的物品都装不下或者背包的承重能力为0，那么总价值都是0；
由以上的分析，可以得出m[i,w]的状态转移方程为：
m[i,w] = max{m[i-1,w], m[i-1,w-wi]+vi}
3.2.3 程序设计
# 循环的⽅式，自底向上求解
cache = {}
items = range(1,9)
weights = [10,1,5,9,10,7,3,12,5]
values = [10,20,30,15,40,6,9,12,18]
# 最⼤承重能⼒
W = 4
def knapsack():
for w in range(W+1):
cache[get_key(0,w)] = 0
for i in items:
cache[get_key(i,0)] = 0
for w in range(W+1):
if w >= weights[i]:
if cache[get_key(i-1,w-weights[i])] + values[i] > cache[get_key(i-1,w)]:
cache[get_key(i,w)] = values[i] + cache[get_key(i-1,w-weights[i])]
else:
cache[get_key(i,w)] = cache[get_key(i-1,w)]
else:
cache[get_key(i,w)] = cache[get_key(i-1,w)]
return cache[get_key(8,W)]
def get_key(i,w):
return str(i)+','+str(w)
if __name__ == '__main__':
# 背包把所有东西都能装进去做假设开始
print(knapsack())
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